La derivada de una función tiene muchas aplicaciones, entre las cuáles esta la determinación de la velocidad instantánea de una partícula o móvil a partir de su función de posición. Este proceso es en ocasiones algo muy sencillo cuando se cuenta con dicha función, pero cuando se requiere solucionar el mismo problema con un conjunto de datos discretos y no con su función, el procedimiento no puede ser llevado de igual manera, es decir, el calculo no nos da una solución directa, por lo tanto se debe recurrir a otro tipo de análisis.
Notaremos la aproximación a la derivada de una función f como f’ Esta formula aunque sencilla no tiene un comportamiento estable, ya que para funciones lineales puede llegar a ser exacta, no siendo así para funciones más generales. Pero sin duda alguna, es un buen punto de partida para el calculo de la derivada de una función, además hay que considerar que en algunos casos es la única opción con que se cuenta.
De manera análoga a la interpolación polinomial, el uso de mas puntos en la evaluación de la derivada producirá mayor exactitud; aunque esto implica mayor cantidad de evaluaciones funcionales y aumento de error de redondeo. Entre las formulas mas comunes están la de tres puntos y la de cinco puntos. A continuación se mostrara la deducción de la formula de tres puntos a partir del polinomio de Taylor de segundo grado.
DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA CON MATLAB Para el calculo de la derivada de una función a partir de valores tabulados de la función se realizo el siguiente archivo .m. Este archivo .m encuentra la derivada para un conjunto de puntos igualmente espaciados en x. Estos puntos se deben introducir en forma de vectores. Un vector para x y un vector para y. El archivo .m genera otro vector d que es un vector que contiene la derivada de la función dada con x e y encontrado usando la formula de los dos puntos. Para los puntos extremos el programa utiliza los métodos de diferencia finita progresiva (para el primer punto) y regresiva (para el primer punto). Para los puntos centrales se utiliza el método de diferencia finita centrado
Encontremos la derivada de la función f(x) = e2x desde x = 0.8 hasta x = 1.3 con un tamaño de paso h = 0.1, usando este archivo .m
